Карта сайта

рівняння площини

1. загальне рівняння площини

Площина задається однозначно, якщо відомий вектор, якому вона перпендикулярна і точка, через яку вона проходить. Аналогічно прямий на площині, такий вектор називається нормальним вектором або вектором нормалі, Точка називається початковою точкою, Позначимо нормаль

n

(A, B, C) І початкову точку M0(x0, y0, z0).

довільна точка M(x, y, z) Лежить на площині в тому і тільки тому випадку, коли вектор  перпендикулярний вектору

n

 і, отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю. Враховуючи що

(x - x0, y - y0, z - z0) і

n

(A, B, C),

отримуємо

(

n

,  ) = 0 => A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Розкриваючи дужки і перегруповуючи складові, маємо:

Ax + By + Cz - Ax0 - By0 - Cz0 = 0.

позначивши - Ax0 - By0 - Cz0 через D, Прийдемо до рівняння:

Ax + By + Cz + D = 0.

це загальне рівняння площини.

Розглянемо окремі випадки.

1) Нехай D = 0, рівняння приймає вигляд Ax + By + Cz = 0. Очевидно, що в цьому випадку площина проходить через початок координат.

2) Якщо одна з координат нормального вектора дорівнює нулю, то площина паралельна відповідній осі координат. наприклад, А = 0, тоді By + Cz + D = 0 - площину, паралельна осі Ох, при В = 0 площину паралельна осі Оу, при С = 0 - осі Оz.

3) Якщо дві координати нормального вектора дорівнюють нулю, то площину перпендикулярна одній з осей координат і паралельна відповідній координатної площини. наприклад, А = В = 0, тоді Cz + D = 0 або z = -D/C. Це рівняння площині паралельній площині xОy і перпендикулярній осі Оz. Аналогічно, при А = С = 0 площину перпендикулярна осі Оy і паралельна площині xOz, при В = С = 0 площину перпендикулярна осі Оx і паралельна площині yOz. Якщо в цих випадках і D = 0, то площина збігається з відповідною координатної площиною.

2. рівняння площини у відрізках

Припустимо, що в загальному рівнянні площини D ? 0, тобто площину не проходить через початок координат. Перетворимо рівняння таким чином:

Ax + By + Cz = -D,

розділимо рівняння на (-D):

 => .

позначимо , ,  , отримаємо

.

це рівняння площини у відрізках.

 З'ясуємо геометричний зміст входять в рівняння параметрів. нехай y = z = 0, тоді и x = a, Отже, площина проходить через точку з координатами (а, 0, 0). Аналогічно, вважаючи x = y = 0, отримуємо z = c і відповідно точку (0, 0, с), Що належить площині. якщо x = z = 0, то y = b і точка з координатами (0, b, 0) лежить на площині. Отримані точки (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c) - Точки перетину площини з координатними осями. отже, a, b, c - Це довжини відрізків, що відсікаються площиною на осях координат, взяті зі знаком плюс або мінус в залежності від того, в якій частині осі відбувся перетин.

За допомогою рівняння площини в відрізках легко зобразити площину в прямокутних декартових координатах.

Наприклад, площина, задана загальним рівнянням

2x + 3y + z - 6 = 0,

перетвориться в рівняння у відрізках:

2x + 3y + z = 6 => .

Відзначивши точки з координатами (3, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 6), що належать площині, можна накреслити трикутник площині, що відсікається координатними площинами (рис. 34).

3. векторне і векторно-параметричне рівняння площини

Нехай заданий базис

е

1,

е

2,

е

3, Тоді площину буде визначена, якщо будуть задані два неколінеарних вектора

p

и

q

 і початкова точка М0. (Не втрачаючи спільності, можна вважати, що

p

и

q

 прикладені до точки М0).

 довільна точка М лежить на площині, якщо вектор  лежить на площині (рис. 35). тоді вектор  можна розкласти по векторах

p

и

q

:

= t1

p

+ t2

q

.

З іншого боку, позначивши через

r

0 радіус-вектор точки М0, А через

r

 радіус-вектор точки М, отримаємо =

r

-

r

0. Прирівнюючи праві частини, отримаємо:

r

-

r

0 = t1

p

+ t2

q

.

це векторне рівняння площини.

У базисі

е

1,

е

2,

е

3 вектора

r

,

r

0,

p

,

q

 мають координати:

r

(x, y, z),

r

0(x0, y0, z0),

p

(p1, p2, p3),

q

(q1, q2, q3).

Знайдемо координати векторів векторного рівняння площині:

r

-

r

0 = (x - x0, y - y0, z - z0),

t1

p

+ t2

q

 = (t1p1 + t2q1, t1p2 + t2q2,t1p3 + t2q3).

Прирівнюємо відповідні координати і отримуємо:

це параметричні рівняння площини.

4. рівняння площини, що проходить через три задані точки

Відомо, що через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить одна площина. Нехай задані три точки M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), І M3(x3, y3, z3). довільна точка М(x, y, z) Лежить в тій же площині, що і точки М1, М2, М3, Якщо всі три вектора , ,  лежать в одній площині.

Таким чином, точка М лежить в площині М1М2М3, Якщо вектори , ,  коллінеарні і, отже, їх мішаний добуток дорівнює нулю,

( , ,  ) = 0.

З огляду на, що зазначені вектори мають координати:

 = (x - x1, y - y1, z - z1),

 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1),

 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1),

Змішане твір записується у вигляді:

.

це рівняння площини, що проходить через три задані точки.

5. нормальне рівняння площині

Розглянемо загальне рівняння площини:

Ax + By + Cz + D = 0,

де

n

(A, B, C) - Вектор нормалі. Розділимо рівняння на  , Знак вибираємо протилежний знаку вільного члена D. Рівняння набуває вид:

.

позначимо (p > 0), враховуючи, що

, , ,

де cos?, cos?, cos? - напрямні косинуси вектора

n

, ?, ?, ? - кути, утворені вектором

n

 і осями координат, одержуємо

xcos? + ycos? + zcos? - p = 0.

це нормальне рівняння, р - Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на площину, тобто відстань від початку координат до площини.

6. приклади розв'язання типових задач

Розглянемо зв'язок між різними способами встановлення площини.

Приклад 1.

Дано три точки А(1, 1, 1), В(2, 2, 0), С(3, 0, 1). Знайдемо рівняння площини (АВС).

Запишемо рівняння площини, що проходить через три задані точки:

,

.

Розкладемо визначник по першому рядку:

.

Обчислимо визначники:

- (x - 1) - 2 (y - 1) - 3 (z - 1) = 0,

- x - 2y - 3z + 6 = 0.

Помножимо рівняння на (-1), отримаємо

x + 2y + 3z - 6 = 0.

Це загальне рівняння площини. Переконаємося, що це шукане рівняння площини, яка проходить через три точки. Для цього підставимо координати точок в рівняння:

1 + 2 • 1 + 3 • 1 - 6 = 0,

2 + 2 • 2 + 3 • 0 - 6 = 0,

3 + 2 • 0 + 3 • 1 - 6 = 0.

Дійсно, отримане рівняння перетворилося в тотожності. Отже, всі три точки лежать на цій площині.

Запишемо рівняння площини у відрізках.

x + 2y + 3z = 6

Ділимо це рівняння на 6, отримуємо

.

 Очевидно, що площина відтинає по осі Оx відрізок довжиною 6 одиниць, по осі Oy відрізок довжиною 3 і по осі Oz відрізок в 2 одиниці. Тепер неважко зобразити цю площину в декартовій системі координат (рис. 36).

В якості двох неколінеарних напрямних векторів площини можна взяти вектори и  . Для того щоб знайти координати вектора потрібно з координат кінця вектора відняти відповідні координати початку:

 (1, 1, -1),

 (2, -1, 0).

В якості початкової точки вибираємо точку А(1, 1, 1), її координати збігаються з координатами її радіус-вектора

r

0(1, 1, 1). Отримуємо, що в рівнянні

r

-

r

0 = t1

p

+ t2

q

p

= ,

q

= ,

r

0(1, 1, 1),

r

(x, y, z), t1, t2 - Довільні параметри.

Запишемо це векторно-параметричне рівняння як параметричне. Враховуючи що

r

-

r

0 = (x - 1, y - 1, z - 1),

t1

p

= t1  = (t1, t1, - t1),

t2

q

= t2  = (2t2, - t2, 0)

і, прирівнюючи відповідні координати, отримуємо:

Це параметричне рівняння площини.

Повернемося до загального рівняння площини

x + 2y + 3z - 6 = 0.

Помножимо рівняння на нормуючий множник  , де

n

 - Вектор нормалі. В даному випадку

n

(1, 2, 3), тоді  . Знак нормує множника вибираємо протилежний знаку вільного члена (-6). отримуємо рівняння

.

Це нормальне рівняння площині. Тут напрямні косинуси: , ,  , Де ?, ?, ? - кути, утворені вектором нормалі з відповідними осями координат,  - Відстань від початку координат до площини АВС.

Приклад 2.

Визначити відстань від точки М(3, 5, -8) до площини

6x - 3y + 2z - 28 = 0.

Розглянемо задачу в загальному вигляді. дана точка M1(x1, y1, z1) І площину ?: Ax + By + Cz + D = 0. Потрібно знайти відстань від точки М1 до площини.

відстань d від точки М1 до площини вимірюється довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на площину:

d = ,

де K(x0, y0, z0) - Точка, що належить площині ?. Так як вектори и

n

 колінеарні, то їх скалярний добуток має вигляд

,

так як кут ? дорівнює 0? або 180?. Враховуючи що

n

 = (A, B, C),  = (x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0), Запишемо скалярний твір через координати співмножників:

= A(x1 - x0) + B(y1 - y0) + C(z1 - z0),

= Ax1 + By1 + Cz1 - Ax0 - By0 - Cz0 =

= Ax1 + By1 + Cz1 + D - Ax0 - By0 - Cz0 - D =

= (Ax1 + By1 + Cz1 + D) - (Ax0 + By0 + Cz0 + D).

вираз Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, так як точка K(x0, y0, z0) Лежить на площині ? і її координати задовольняють рівняння площини. маємо

= Ax1 + By1 + Cz1 + D,

= Ax1 + By1 + Cz1 + D.

Звідси отримуємо важливу для вирішення завдання формулу:

.

Таким чином, щоб знайти відстань від точки M1(x1, y1, z1) До площини Ax + By + Cz + D = 0, потрібно в ліву частину рівняння замість поточних координат x, y, z підставити координати точки M1(x1, y1, z1) І розділити отримане число на модуль вектора нормалі |

n

|, Взявши результат по абсолютній величині.

Повернемося до поставленого завдання. Підставами координати точки М(3, 5, -8) в рівняння площини 6x - 3y + 2z - 28 = 0 і розділимо на модуль нормалі:

.

Приклад 3.

Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(2, 3, 5) і перпендикулярній вектору 4

i

 + 3

j

 + 2

k

.

Даний вектор можна розглядати як вектор нормалі шуканої площини, загальне рівняння якої має вигляд:

4x + 3y + 2z + D = 0.

Для визначення значення вільного члена підставимо координати точки М в рівняння:

4 • 2 + 3 • 3 + 2 • 5 + D = 0,

8 + 9 + 10 + D = 0,

D = -27.

Тепер можна записати рівняння шуканої площини:

4x + 3y + 2z - 27 = 0.

Приклад 4.

Скласти рівняння площини, що проходить через точки M1(1, -2, 6), M2(5, -4, -2) і відтинає рівні відрізки на осях Ox и Oy.

Будемо шукати рівняння площини у вигляді:

.

За умовою a = b, Тому рівняння можна переписати інакше:

.

Підставляючи координати точок M1(1, -2, 6), M2(5, -4, -2) в останнє рівняння, одержимо

 або

Вирішуємо систему отриманих рівнянь:

 => c = 2.

підставляємо значення c = 2 в друге рівняння:

 => .

Отже, шукане рівняння має вигляд

 або 4x + 4y + z - 2 = 0.

Приклад 5.

Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(3, 2, 1) паралельно площині 3x - 5y + 2z - 6 = 0.

Очевидно, що вектор нормалі до площини 3x - 5y + 2z - 6 = 0 буде перпендикулярний і шуканої площини, паралельної даній. Його координати:

n

(3, -5, 2). Отже, шукана площина має рівняння

3x - 5y + 2z + D = 0.

Для визначення значення вільного члена підставимо в рівняння координати точки М:

3 • 3 - 5 • 2 + 2 • 1 + D = 0,

9 - 10 + 2 + D = 0,

D = -1.

Значить, необхідну рівняння:

3x - 5y + 2z - 1 = 0.

Приклад 6.

Знайти рівняння площини, що проходить через точки M1(1, 2, -1), M2(3, 5, 1) перпендикулярно площині 3x + 5y - z + 7 = 0.

Очевидно, що нормальний вектор даної площині

n

(3, 5, -1) буде паралельний шуканої площини, а вектор  = (2, 3, 2) лежить в шуканої площини, і, отже, їх векторний добуток буде перпендикулярно шуканої площини і може розглядатися як нормаль.

n

1 = [

n

,  ] = =

=  = 13

i

 - 8

j

-

k

.

Рівняння площини буде

13x - 8y - z + D = 0.

знайдемо D, Для цього підставимо координати, наприклад, точки М1, отримаємо

13 • 1 - 8 • 2 - (-1) + D = 0 => 13 - 16 + 1 + D = 0 => D = 2.

Остаточно маємо необхідну рівняння:

13x - 8y - z + 2 = 0.

Приклад 7.

Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(3, -1, 2) і перпендикулярній площинах 3x + 5y - 2z + 7 = 0 і x - 2y + 3z + 6 = 0.

Очевидно, що нормалі даних площин

n

1(3, 5, -2) і

n

2(1, -2, 3) будуть паралельні шуканої площини і, отже, за нормаль до неї можна взяти їх векторний добуток.

n

 = [

n

1,

n

2] = =

=  = 11

i

 - 11

j

 - 11

k

.

Рівняння набирає вигляду

11x - 11y - 11z + D = 0.

Розділимо його на 11, отримаємо

x - y - z + D'= 0.

Підставами в це рівняння координати точки М(3, -1, 2), знайдемо D':

3 + 1 - 2 + D'= 0 => D'= -2.

Необхідну рівняння:

x - y - z - 2 = 0.



Прирівнюючи праві частини цих виразів, отримаємо | Пряма в просторі

mozhno-li-halvu-kormyashe.html
mozhno-li-hodit-v-banyu-b.html
mozhno-li-i-kak-izbavitsy.html
mozhno-li-ingalyacii-dela.html
mozhno-li-ispolzovat-dets.html
crit.csmakeupjp.com
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  • Читать полностью
  •     PR.RU™